Question

15．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C是直径AB上一点，点D在⊙O上，CE⊥CF，BD垂直平分CE于点P，CF交AD于点K，交⊙O于点N．求证：
（1）若EF=AB，则点N为弧AD的中点．
（2）若DC⊥AB，∠ABD=60°，则EF为⊙O的切线．

Answer 1

分析 （1）根据垂直的定义得到∠F+∠E=∠DCF+∠DCE=90°，由BD垂直平分CE于点P，得到DC=DE，推出CD=$\frac{1}{2}$EF，得到点C与O重合，推出CD=$\frac{1}{2}$AB，得到CD=OD，然后根据垂径定理得到结论；
（2）连接OD，推出△BOD是等边三角形，根据等腰三角形的性质得到∠ODC=∠BDC=30°，∠CDB=∠BDE=30°，于是得到结论．

解答 证明：（1）∵CE⊥CF，
∴∠ECF=90°，
∴∠F+∠E=∠DCF+∠DCE=90°，
∵BD垂直平分CE于点P，
∴DC=DE，
∴∠E=∠DCE，
∴∠F=∠DCF，
∴DF=DC，
∴CD=$\frac{1}{2}$EF，
∵EF=AB，∴点C与O重合，
∵∠ADB=∠ECF=∠CPD=90°，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB是⊙O的直径，
∴CD=OD，
∴四边形CPDK是矩形，
∴CN⊥AD，即ON⊥AD，
∴$\widehat{AN}=\widehat{DN}$，
∴点N为弧AD的中点；

（2）连接OD，∵∠ABD=60°，OD=OB，
∴△BOD是等边三角形，
∴OD=BD，
∵CD⊥AB，
∴∠ODC=∠BDC=30°，
∵DE=DC，BD⊥CE，
∴∠CDB=∠BDE=30°，
∴∠ODE=∠ODC+∠CDB+∠BDE=90°，
∴∠ODE=90°，
∴EF为⊙O的切线．

点评 本题考查了切线的判定，等边三角形的性质，相等垂直平分线的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，证得CD=$\frac{1}{2}$AB是解题的关键．