Question

17．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任取一点P（点A除外），过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E和点F，作PQ∥AC，交
AB于点Q，连接QE．
（1）求证：四边形AEPQ为菱形；
（2）当点P在何处时，菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半？

Answer 1

分析 （1）先证出四边形AEPQ为平行四边形，关键是找一组邻边相等，由AD平分∠BAC和PE∥AQ可证∠EAP=∠EPA，得出AE=EP，即可得出结论；
（2）S_菱形AEPQ=EP•h，S_{平行四边形EFBQ}=EF•h，若菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半，则EP=$\frac{1}{2}$EF，因此P为EF中点时，S_菱形AEPQ=$\frac{1}{2}$S_{四边形EFBQ}．

解答 （1）证明：∵EF∥AB，PQ∥AC，
∴四边形AEPQ为平行四边形，
∴∠BAD=∠EPA，
∵AB=AC，AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
∴∠CAD=∠EPA，
∴EA=EP，
∴四边形AEPQ为菱形．
（2）解：P为EF中点，即AP=$\frac{2}{3}$AD时，S_菱形AEPQ=$\frac{1}{2}$S_{四边形EFBQ}
∵四边形AEPQ为菱形，
∴AD⊥EQ，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴EQ∥BC，
又∵EF∥AB，
∴四边形EFBQ为平行四边形．
作EN⊥AB于N，如图所示：
则S_菱形AEPQ=EP•EN=$\frac{1}{2}$EF•EN=$\frac{1}{2}$S_{四边形EFBQ}．

点评 此题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．