Question

16．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯的半径是4cm，水面宽度AB是4$\sqrt{3}$cm．
（1）求水的最大深度（即CD）是多少？
（2）求杯底有水部分的面积（阴影部分）．

Answer 1

分析 （1）由垂径定理可得出BC的长，在Rt△OBC中，根据勾股定理求出OC的长，由DC=OD-OC即可得出结论．
（2）解直角三角形求得∠AOB的度数，然后求S_△AOB和S_扇形OAB，然后根据S_阴影=S_扇形-S_△AOB即可求得．

解答 解：（1）∵OD⊥AB，AB=4$\sqrt{3}$cm，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$cm，
在Rt△OBC中，
∵OB=4cm，BC=2$\sqrt{3}$cm，
∴OC=$\sqrt{O{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}$=2cm，
∴DC=OD-OC=4-2=2cm．
∴水的最大深度（即CD）是2cm．
（2）∵OC=2，OB=4，
∴OC=$\frac{1}{2}$OB，
∴∠ABO=30°，
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠ABO=30°，
∴∠AOB=120°，
∵S_△AOB=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$×2=4$\sqrt{3}$，
∴S_扇形OAB=$\frac{120π×{4}^{2}}{360}$=$\frac{16}{3}$π，
∴S_阴影=S_扇形-S_△AOB=$\frac{16}{3}$π-4$\sqrt{3}$（cm）²．

点评 本题考查的是垂径定理的应用，解答此类问题的关键是构造出直角三角形，利用垂径定理及勾股定理进行解答．