Question

8．如图，∠ABD=∠BCD=90°，AB=4，sinA=$\frac{3}{5}$，CD=2，求∠CBD的三个三角函数值．

Answer 1

分析 先在Rt△ABC中利用∠A的正弦可计算出BC=$\frac{12}{5}$，再在Rt△BCD中，利用勾股定理计算出BD=$\frac{2\sqrt{61}}{5}$，然后根据三角函数的定义计算∠CBD的三个三角函数值．

解答 解：在Rt△ABC中，∵sinA=$\frac{BC}{AB}$，
∴BC=$\frac{3}{5}$×4=$\frac{12}{5}$，
在Rt△BCD中，∵BC=$\frac{12}{5}$，CD=2，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{61}}{5}$，
∴sin∠CBD=$\frac{CD}{BD}$=$\frac{2}{\frac{2\sqrt{61}}{5}}$=$\frac{5\sqrt{61}}{61}$，
cos∠CBD=$\frac{BC}{BD}$=$\frac{\frac{12}{5}}{\frac{2\sqrt{61}}{5}}$=$\frac{6\sqrt{61}}{61}$，
tan∠CBD=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{2}{\frac{12}{5}}$=$\frac{5}{6}$．

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解决本题的关键是灵活应用勾股定理和三角函数的定义进行计算．