Question

20． 如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，PO交⊙O于点C，PC=OC，AP=4$\sqrt{3}$cm．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质得到∠OAP=90°，由已知条件得到OA=$\frac{1}{2}$OP，证得∠APO=30°，解直角三角形得到AP=4$\sqrt{3}$cm，即可得到结论；
（2）连接OB，根据切线的性质得到∠APB=2∠APO=60°，∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形的内角和得到∠AOB=120°，于是得到结论．

解答 解：（1）∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，
∴∠OAP=90°，
∵PC=OC，
∴OA=$\frac{1}{2}$OP，
∴∠APO=30°，
∵AP=4$\sqrt{3}$，
∴OA=4cm，
∴⊙O的半径=4cm；

（2）连接OB，
∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，
∴∠APB=2∠APO=60°，∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=120°，
∴S_阴影=_{四边形AOBP}-S_扇形=4×4$\sqrt{3}$-$\frac{120•π×{4}^{2}}{360}$=（16$\sqrt{3}$-$\frac{16}{3}$π）cm²．

点评 此题考查了切线长定理，直角三角形的性质，扇形面积公式等知识，熟记切线长定理是解题的关键．