Question

6．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N．
求证：∠BME=∠CNE；（提示：取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线）
（2）如图2，在△ABC中，F是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线FE交BA的延长线于点G，若AB=DC=2，∠FEC=45°，求FE的长度．

Answer 1

分析 （1）连接BD，取DB的中点H，连接EH，FH，根据三角形中位线定理得到EH∥AB，EH=$\frac{1}{2}$AB，根据平行线的性质证明；
（2）连接BD，取DB的中点H，连接EH，FH，根据勾股定理、平行线的性质计算．

解答 （1）证明：连接BD，取DB的中点H，连接EH，FH，
∵E，H分别是AD，BD的中点，
∴EH∥AB，EH=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠BME=∠HEF，
∵F，H分别是BC，BD的中点，
∴FH∥CD，FH=$\frac{1}{2}$CD，
∴∠CNE=∠HFE，
∵AB=CD
∴HE=FH，
∴∠HEF=∠HFE
∴∠BME=∠CNE；

（2）连接BD，取DB的中点H，连接EH，FH，
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴EH=$\frac{1}{2}$AB，FH=$\frac{1}{2}$CD，FH∥AC，
∴∠HFE=∠FEC=45°，
∵AB=CD=2，
∴HF=HE=1，
∴∠HEF=∠HFE=45°，
∴∠EHF=180°-∠HFE-HEF=90°，
∴$EF=\sqrt{H{E^2}+H{F^2}}=\sqrt{{1^2}+{1^2}}=\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．