Question

16．已知：如图，△ABC为等边三角形，过AB边上的点D作DG∥BC，交AC于G，在GD的延长线上取点E，使DE=DB，连接AE，CD．
（1）求证：△AGE≌△DAC；
（2）把线段DC沿DE方向向左平移，当D平移至点E的位置时，点C恰好与线段BC上的点F重合（如图），请连接AF，并判断△AEF是怎样的三角形，试证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据已知等边三角形的性质可推出△ADG是等边三角形，从而再利用SAS判定△AGE≌△DAC；
（2）连接AF，由已知可得四边形EFCD是平行四边形，从而得到EF=CD，∠DEF=∠DCF，由（1）知△AGE≌△DAC得到AE=CD，∠AED=∠ACD，从而可得到EF=AE，∠AEF=60°，所以△AEF为等边三角形．

解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°．
∵EG∥BC，
∴∠ADG=∠ABC=60°∠AGD=∠ACB=60°．
∴△ADG是等边三角形．
∴AD=DG=AG．
∵DE=DB，
∴EG=AB．
∴GE=AC．
∵EG=AB=CA，
∴∠AGE=∠DAC=60°，
在△AGE和△DAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AD}\\{∠AGE=∠DAC}\\{GE=AC}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△DAC（SAS）．
（2）解：△AEF为等边三角形．
证明：如图，连接AF，
∵DG∥BC，EF∥DC，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∴EF=CD，∠DEF=∠DCF，
由（1）知△AGE≌△DAC，
∴AE=CD，∠AED=∠ACD．
∵EF=CD=AE，∠AED+∠DEF=∠ACD+∠DCB=60°，
∴△AEF为等边三角形．

点评 此题主要考查学生对全等三角形的判定，等边三角形的性质及判定的理解及运用．