Question

6．如图所示，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且∠D=∠E．
（1）求证：∠ADC=∠CBE；
（2）求证：CB=CE；
（3）设AD不是圆O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．

Answer 1

分析 （1）连接AC，BD，由圆周角定理得出∠ACB=∠ADB，∠BAC=∠BDC，再由∠CBE+∠ABC=180°得出∠CBE=∠ACB+∠BAC=∠ADB+∠BDC=∠D，进而可得出结论；
（2）由圆内接四边形的性质得出∠D=∠CBE，再由∠D=∠E，故可得出∠CBE=∠E，进而得出结论；
（3）设BC的中点为N，连接MN，由等腰三角形的性质得出MN⊥BC，故点O在直线MN上，因为AD不是圆O的直径，M为AD的中点可得出OM⊥AD，MN⊥AD，BC∥AD，故可得出∠A=∠CBE，再由∠A=∠E可得出∠D=∠E，进而可得出结论．

解答 （1）证明：连接AC，BD，
∵∠ACB=∠ADB，∠BAC=∠BDC，∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°，
又∵∠CBE+∠ABC=180°，
∴∠CBE=∠ACB+∠BAC=∠ADB+∠BDC=∠D，
∴∠D=∠CBE；

（2）证明：∵∠D=∠CBE，∠D=∠E，
∴∠CBE=∠E，
∴CB=CE；

（3）解：设BC的中点为N，连接MN，
∵BM=MC，
∴MN⊥BC，
∴点O在直线MN上．
又∵AD不是圆O的直径，M为AD的中点，
∴OM⊥AD，
∴MN⊥AD，
∴BC∥AD，
∴∠A=∠CBE．
又∵∠A=∠E，
∴∠D=∠E，
∴△ADE为等边三角形．

点评 本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．