Question

如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证：DE+BF=EF．
（1）感悟以下解题方法，并完成填空：
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合．由旋转可得：AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°．
因此，点G，B，F在同一条直线上．∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°∵∠1=∠2∴∠1+∠3=45°，即∠GAF=∠

 

．
又AG=AE，AF=AF∴△GAF≌

 

∴

 

=EF，故DE+BF=EF
（2）方法迁移：如图2，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=

1

2

∠DAB，试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,正方形的性质,翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）根据图形和推理过程填空即可；
（2）将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABHG，根据旋转的性质可得AH=AE，BH=DE，∠1=∠2，再求出∠HAF=∠EAF，再判断出点H、B、F三点共线，然后利用“边角边”证明△AEF和△AHF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=HF，再根据HF=BH+BF等量代换即可得证．

解答：解：（1）将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，
由旋转可得：AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上，
∵∠EAF=45°，
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°，
即∠GAF=∠EAF，
又AG=AE，AF=AF，
∴△GAF≌△EAF（SAS），
∴GF=EF，
故DE+BF=EF；
故答案为：EAF，△EAF，GF；

（2）如图，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABHG，
由旋转可得，AH=AE，BH=DE，∠1=∠2，
∵∠EAF=

1

2

∠DAB，
∴∠HAF=∠1+∠3=∠2+∠3=

1

2

∠BAD，
∴∠HAF=∠EAF，
∵∠ABH+∠ABF=∠D+∠ABF=90°+90°=180°，
∴点H、B、F三点共线，
在△AEF和△AHF中，

AH=AE ∠HAF=∠EAF AF=AF

，
∴△AEF≌△AHF（SAS），
∴EF=HF，
∵HF=BH+BF，
∴EF=DE+BF．

点评：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，翻折变换的性质，读懂题目信息，理解题目提供的证明思路和方法是解题的关键，也是本题的难点．