Question

【题目】如图，CD是⊙O的直径，点A为圆上一点不与C，D点重合，过点A作⊙O的切线，与DC的延长线交于点P，点M为AP上一点，连接MC并延长，与⊙O交于点F，E为CF上一点，且MA＝ME，连接AE并延长，与⊙O于点B，连接BC，AC．

（1）求证：＝；

（2）若PCPD＝7，求AP的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】

（1）连接AF，利用切线的性质，可得∠MAC＝∠F，再利用同角对同弧，即可解答

（2）连接AD，利用切线的性质可得∠MAC＝∠D，即可证明△PAC∽△PDC，即可解答

（1）证明：连接AF，如图1所示：

∵PA是⊙O的切线，

∴∠MAC＝∠F，

∵MA＝ME，

∴∠MAE＝∠MEA，

∵∠MAE＝∠MAC+∠BAC，∠MEA＝∠F+∠BAF，

∴∠BAC＝∠BAF，

∴弧BC=弧BF；

（2）解：连接AD，如图2所示：

∵PA是⊙O的切线，

∴∠MAC＝∠D，

∵∠P＝∠P，

∴△PAC∽△PDC，

∴，

∴PA2＝PCPD＝7，

∴PA＝．