题目内容
【题目】对于二次函数y=ax2-(2a-1)x+a-1(a≠0)，有下列结论：①其图象与x轴一定相交；②若a＜0，函数在x＞1时，y随x的增大而减小；③无论a取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上；④无论a取何值，函数图象都经过同一个点．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
令y=0，解方程求出抛物线与x轴的两个交点坐标，从而判断出①④正确，利用抛物线的顶点坐标列式整理，再根据二次函数的增减性判断出②错误；消掉a即可得到顶点所在的直线，判断出③正确．
令y=0，则ax2-(2a-1)x+a-1=0，即（x-1）[ax-（a-1）]=0，
解得x
=1，x
，
所以，函数图象与x轴的交点为（1，0），（
，0），故①④正确；
当a<0时，
，
所以，函数在x>1时，y先随x的增大而增大，然后再减小，故②错误；
∵x=-
，
∴y=
即无论a取何值，抛物线的顶点始终在直线y= 上，故③正确；
综上所述，正确的结论是①③④．
故选：C．
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