Question

16．定义：如图①，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．

（1）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，若AM=2，MN=3，求BN的长；
（2）①如图②，在等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M、N为边AB上两点，满足∠MCN=45°，求证：点M、N是线段AB的勾股分割点；
阳阳同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把△CBN绕点C逆时针旋转90°试一试．
请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程；
②已知：点C是线段AB上的一定点，其位置如图③所示，请在BC上画一点D，使C、D是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，画出一种情形即可）；

（3）如图④，已知：点M，N是线段AB的勾股分割点，MN＞AM≥BN，△ABC、△MND分别是以AB、MN为斜边的等腰直角三角形，且点C与点D在AB的同侧，若MN=4，连接CD，则CD=2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）①当MN为最大线段时，由勾股定理求出BN；②当BN为最大线段时，由勾股定理求出BN即可．
（2）①只要证明△MCN≌△MCN'以及∠NAM=90°即可．
②如图③作CM⊥AB，使得CM=AC，连接BM，作BM的垂直平分线EF交AB于D，点D就是所求的点．
（3）如图④中，连接CM、CN，将△ACM绕点C逆时针旋转90°得△CBF，将△CDM绕点C逆时针旋转90°得△CFE只要证明四边形EFDN是平行四边形以及MN=NF就可以了．

解答 （1）解：①当MN为最大线段时，
∵点 M、N是线段AB的勾股分割点，
∴BN=$\sqrt{M{N}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$；
②当BN为最大线段时，
∵点M、N是线段AB的勾股分割点，
∴BN=$\sqrt{M{N}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
综上所述：BN=$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$；
（2）①证明：连接MN′，
∵∠ACB=90°，∠MCN=90°，
∴∠BCN+∠ACM=45°，
∵∠ACN'=∠BCN，
∴∠MCN'=∠ACN′+∠ACM=∠BCN+∠ACN=45°=∠MCN，
在△MCN和△MCN′中，
$\left\{\begin{array}{l}{CM=CM}\\{∠MCN′=∠MCN}\\{CN=CN′}\end{array}\right.$，
∴△MCN≌△MCN'，
∴MN'=MN，
∵∠CAN′=∠CAB=45°，
∴∠MAN′=90，
∴AN′²+AM²=MN′²，
即BN²+AM²=MN²，
∴点M、N是线段AB的勾股分割点．
②如图③，作CM⊥AB，使得CM=AC，连接BM，作BM的垂直平分线EF交AB于D，点D就是所求的点．
（3）如图④中，连接CM、CN，将△ACM绕点C逆时针旋转90°得△CBF，将△CDM绕点C逆时针旋转90°得△CFE．
∵△ABC，△DMN都是等腰直角三角形，
∴∠DMN=∠A=45°，∠CBA=∠DNM=45°
∴DM∥AC，DN∥BC，
∴∠1=∠2=∠3=∠4，
∴EF∥BC，
∴EF∥C∥ND，
∵DM=DN=EF，
∴四边形EFND是平行四边形，
∴ED=NF，
由（1）可知MN=NF，
∴MN=ED，
在RT△CDE中，∵CD=CE，∠DCE=90°，
∴DE=$\sqrt{2}$CD，
∴MN=$\sqrt{2}$CD．
∵MN=4，
∴CD=2$\sqrt{2}$．
故答案为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，利用旋转法添加辅助线是解决问题的关键．