题目内容

8．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．
（1）∠A的正弦值是$\frac{\sqrt{10}}{10}$；
（2）△ABC外接圆的半径是$\sqrt{5}$；
（3）已知△ABC与△DEF（点D、E、F都是格点）成位似图形，则位似中心M的坐标是（3，6）；
（4）请在网格图中的空白处画一个格点△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC，且相似比为$\sqrt{2}$：1．

分析 （1）根据正弦的定义，结合网格特点解答；
（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的外接圆的概念解答；
（3）根据位似变换和位似中心的概念解答；
（4）根据相似三角形的对应边的比相等，都等于相似比解答．

解答 解：（1）如图1，由网格特点和勾股定理得，CH=1，AC=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
则sinA=$\frac{HC}{AC}$=$\frac{1}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{10}}{10}$；
（2）作AB、BC的垂直平分线交于G，连接AG，
根据网格特点可知，点G的坐标为（2，6），
则AG=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
则△ABC外接圆的半径是$\sqrt{5}$，
故答案为：$\sqrt{5}$；
（3）如图2，连接BE、FC，
根据网格特点，BE与FC交于点M，
点M的坐标为（3，6），
根据位似中心的概念可知，位似中心M的坐标是（3，6），
故答案为：（3，6）；
（4）由网格特点可知，AB=2，BC=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{10}$，
∵△A1B1C1∽△ABC，且相似比为$\sqrt{2}$：1
∴A1B1=2$\sqrt{2}$，B1C1=2，A1C1=2$\sqrt{5}$，
所求的△A1B1C1如图3．

点评 本题考查的是格点正方形、锐角三角函数的定义、位似变换与位似中心与相似三角形的性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，对应线段互相平行，这两个图形是位似图形是解题的关键．

练习册系列答案
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8．下列各式中，是完全平方式的有（　　）
①a2-a+$\frac{1}{4}$；②x2+xy+y；③$\frac{1}{16}$m2+m+9；④x2-xy+$\frac{1}{4}$y2；⑤m2+4n2+4mn；⑥$\frac{1}{4}$a2b2+ab+1．
A．2个B．3个C．4个D．5个
9．若x为$\root{3}{25}$的整数部分，y是$\root{3}{25}$的小数部分，求x，y的值．
∵$\root{3}{8}$$＜\root{3}{25}$$＜\root{3}{27}$，
∴$2＜\root{3}{25}$＜3，
∴$\root{3}{25}$在整数2与3之间．
∴$x=2，y=\root{3}{25}$-2．
若a为$\root{3}{80}$-1的整数部分，b为$\root{3}{80}$-1的小数部分，求a，b的值．
16．定义：如图①，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．

（1）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，若AM=2，MN=3，求BN的长；
（2）①如图②，在等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M、N为边AB上两点，满足∠MCN=45°，求证：点M、N是线段AB的勾股分割点；
阳阳同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把△CBN绕点C逆时针旋转90°试一试．
请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程；
②已知：点C是线段AB上的一定点，其位置如图③所示，请在BC上画一点D，使C、D是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，画出一种情形即可）；

（3）如图④，已知：点M，N是线段AB的勾股分割点，MN＞AM≥BN，△ABC、△MND分别是以AB、MN为斜边的等腰直角三角形，且点C与点D在AB的同侧，若MN=4，连接CD，则CD=2$\sqrt{2}$．
3．靠校园一侧围墙的体育场看台侧面，如图阴影部分所示，看台的三级台阶高度相等，宽度相同，现要用钢管做护栏扶手ACG及三根与水平地面PQ垂直的护栏支架CD、EF和GH（底端D、F、H分别在每级台阶的中点处）．已知看台高为1.2米，护栏支架CD=GH=0.8米，∠DCG=66.5°．（参考数据：sin66.5°=0.92，cos66.5°=0.40，tan66.5°=2.30）
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（2）试求制作护栏扶手和支架的钢管总长度l，即AC+CG+CD+EF+GH的长度．（结果精确到0.1米）
13．A、B两地相距310km，甲车从A地向B地行驶，速度为60km/h．0.5小时后，乙车从B地向A地行驶，速度为80km/h．
如何用一次函数关系刻画该过程？以下是两位同学的设想：
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选择一个合适的设想，解决以下问题：
（1）求乙车出发后几小时和甲车相遇；
（2）利用函数，求何时两车相距70km．
20．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，∠ABC的平分线BE分别交CD、CA于点F、E，则下列结论正确的有（　　）
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17．解方程：
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18．下列函数中（x是自变量）是二次函数的是（　　）
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