Question

11．以Rt△ABC的直角顶点C为圆心，作一圆切斜边AB于点T，过点A、B分别作⊙C的切线，E，D为切点，
（1）求证：BD+AE=AB；
（2）求证：BD∥AE；
（3）若梯形ABDE的面积是48，设CA=x，CB=y，且x+y=14，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）利用切线长定理得出AE=AT，BD=BT，代换即可得出结论；
（2）利用切线的性质得出结论即可判断出Rt△AEC≌Rt△ATC，得出∠ACE=∠ACT，同理得出∠BCD=∠BCT，即可判断出E，C、D三点共线，最后利用垂直于同一条直线的两条直线平行即可得出结论；
（3）借助（2）得出的结论，即可判断出梯形ABDE的面积是直角三角形ABC面积的二倍建立x，y的方程，再利用勾股定理即可得出结论．

解答 （1）证明：∵AE，AB是⊙C的切线，
∴AE=AT，
∵BD，AB是⊙C的切线，
∴BD=BT，
∴BD+AE=BT+AT=AB；
（2）证明：∵AE，AB是⊙C的切线，
∴AE=AT，∠AEC=∠ATC=90°，
在Rt△AEC和Rt△ATC中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC}\\{AE=AT}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEC≌Rt△ATC，
∴∠ACE=∠ACT，
同理：Rt△BCD≌Rt△BCT，
∴∠BCD=∠BCT，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACT+∠BCT=90°，
∴∠ECD=∠ACE+∠ACT+∠BCT+∠BCD=2（∠ACT+∠BCT）=180°，
∴点E，C，D在同一条直线上，
∵AE⊥CE，BD⊥CD，
∴BD∥AE（垂直于同一条直线的两条直线平行）；
（3）解：由（2）知，Rt△AEC≌Rt△ATC，Rt△BCD≌Rt△BCT，
∴S_梯形ABDE=S_Rt△AEC+S_Rt△ATC+S_Rt△BCD+S_Rt△BCT
=2（S_Rt△ATC+S_Rt△BCT）
=2S_Rt△ABC
=2×$\frac{1}{2}$AC•CB=AC•CB，
∵梯形ABDE的面积是48，设CA=x，CB=y，
∴xy=48，
∵x+y=14，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB²=AC²+BC²=x²+y²=（x+y）²-2xy=14²-2×48=100，
∴AB=10．
即：AB的长为10．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，三点共线，勾股定理等知识点；（2）中判断出E，C，D三点共线和（3）中整体把x+y=14和xy=48代入是解答关键．