题目内容
2．如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A、B、C，已知点A的坐标为（-3，0），点B坐标为（1，0），点C在y轴的正半轴，且∠CAB=30°．（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若直线L：y=$\sqrt{3}$x+m从点C开始沿y轴向下平移，分别交x轴、y轴于点D、E．
?①当m＞0时，在线段AC上是否存在点P，使得点P、D、E构成等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
②以动直线L为对称轴，线段AC关于直线L的对称线段A′C′与二次函数图象有交点，请直接写出m的取值范围．
分析 （1）如图1，连结AC，在Rt△AOC中，∠CAB=30°，根据三角函数可得C（0，$\sqrt{3}$），根据待定系数法可求抛物线解析式；
（2）①由题意可知，OE=m，OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$m，∠DEO=30°，根据等腰直角三角形的判定与性质分三种情况：
（i）如图2，当PD⊥DE，DP=DE，作PQ⊥x轴；
（ii）如图3，当PE⊥DE，PE=DE，作PQ⊥y轴；（iii）如图4，当DP⊥DE，DP=PE，作DM⊥AC，EN⊥AC；进行讨论可求点P的坐标；
②动直线l与直线AC的交点为C和动直线l与y轴的交点在x轴下面，并且与前面的直线平行，可求m的取值范围．
解答 解：（1）如图1，连结AC，在Rt△AOC中，∠CAB=30°，
∵A（-3，0），即OA=3，
∴OC=$\sqrt{3}$，即C（0，$\sqrt{3}$），
设抛物线解析式为y=ax2+bx+$\sqrt{3}$，
将A（-3，0），B（1，0）代入得 $\left\{\begin{array}{l}{a+b+\sqrt{3}=0}\\{9a-3b+c=0}\end{array}\right.$．
解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=-\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$．
∴y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$；
（2）由题意可知，OE=m，OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$m，∠DEO=30°，
（i）如图2，当PD⊥DE，DP=DE，作PQ⊥x轴
∴∠PQD=∠EOD=90°，
∠PDQ+∠EDO=90°，∠EDO+∠DEO=90°，
∴∠DEO=∠PDQ=30°，
在△DPQ与△EDO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PQD=∠EOD}\\{∠DEO=∠PDQ}\\{DP=DE}\end{array}\right.$，
∴△DPQ≌△EDO（AAS），
∴DQ=OE=m，
∵∠PAQ=∠PDQ=30°，
∴PA=PD，
∴AQ=DQ=m，
∴OA=2m+$\frac{\sqrt{3}}{3}$m=3，
∴m=$\frac{9}{6+\sqrt{3}}$=$\frac{18-3\sqrt{3}}{11}$；
（ii）如图3，当PE⊥DE，PE=DE，作PQ⊥y轴，
同理可得CQ=EQ=OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$m，
∴OC=m+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m=$\sqrt{3}$，
∴m=$\frac{9-3\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$=6-3$\sqrt{3}$；
（iii）如图4，当DP⊥DE，DP=PE，作DM⊥AC，EN⊥AC，
同理可得AP=AD=$\frac{9-\sqrt{3}m}{3}$，PN=DM=$\frac{9-\sqrt{3}m}{6}$，CN=$\frac{\sqrt{3}-m}{2}$，
∴AC=$\frac{9-\sqrt{3}m}{3}$+$\frac{9-\sqrt{3}m}{6}$+$\frac{\sqrt{3}-m}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴m=$\frac{9-3\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$=6$\sqrt{3}$-9；
②当x=0，y=$\sqrt{3}$时，$\sqrt{3}$=0+m，解得m=$\sqrt{3}$；
当x=0，y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=0+m，解得m=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故m的取值范围为：-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤m≤$\sqrt{3}$．
点评 此题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：三角函数，待定系数法求抛物线解析式，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，分类思想的运用，轴对称的性质，综合性较强，有一定的难度．
名校课堂系列答案
如图，在△ABC中，AB=AC=10，sinB=$\frac{3}{5}$，
如图，△ABE、△ADC和△ABC分别是关于AB，AC边所在直线的轴对称图形，若∠1：∠2：∠3=7：2：1，则∠α的度数为108°．
已知：如图，在△ABC中，AB=AC且tanA=$\frac{4}{3}$，P为BC上一点，且BP：PC=3：5，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EPF=2∠B，若△EPF的面积为6，则EF=2$\sqrt{13}$．
平面直角坐标系中，直线y=-$\frac{1}{2}$x+2和x、y轴交于A、B两点，在第二象限内找一点P，使△PAO和△AOB相似的三角形个数为（ ）