Question

15．已知，△ABC为等边三角形，点D为AC上的一个动点，点E为BC延长线上一点，且BD=DE．
（1）如图1，若点D在边AC上，猜想线段AD与CE之间的关系，并说明理由；
（2）如图2，若点D在AC的延长线上，（1）中的结论是否成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出∠E=∠CDE，推出CD=CE，根据等腰三角形性质求出AD=DC，即可得出答案；解：（1）AD=CE，理由：过D作DF∥AB交BC于E，
（2）（1）中的结论仍成立，如图3，过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P，证明△BPD≌△DCE，得到PD=CE，即可得到AD=CE．

解答 解：（1）AD=CE，
证明：如图1，过点D作DP∥BC，交AB于点P，
∵△ABC是等边三角形，
∴△APD也是等边三角形，
∴AP=PD=AD，∠APD=∠ABC=∠ACB=∠PDC=60°，
∵DB=DE，
∴∠DBC=∠DEC，
∵DP∥BC，
∴∠PDB=∠CBD，
∴∠PDB=∠DEC，
又∠BPD=∠A+∠ADP=120°，∠DCE=∠A+∠ABC=120°，
即∠BPD=∠DCE，
在△BPD和△DCE中，∠PDB=∠DEC，∠BPD=∠DCE，DB=DE，
∴△BPD≌△DCE，
∴PD=CE，
∴AD=CE；
（2）如图3，过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P，

∵△ABC是等边三角形，
∴△APD也是等边三角形，
∴AP=PD=AD，∠APD=∠ABC=∠ACB=∠PDC=60°，
∵DB=DE，
∴∠DBC=∠DEC，
∵DP∥BC，
∴∠PDB=∠CBD，
∴∠PDB=∠DEC，
在△BPD和△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PDB=∠DEC}\\{∠P=∠DCE=60°}\\{DB=DE}\end{array}\right.$，
∴△BPD≌△DCE，
∴PD=CE，
∴AD=CE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形．