Question

7．如图，点D，E在等边△ABC的边CB，CA上，且CD=CE，连接DE并延长到点F，使EF=AE，连接AF，CF，BE的延长线交CF于点G．
（1）求证：AF∥BC；
（2）写出图中与△ABE全等的三角形，并写出理由．

Answer 1

分析 （1）由△ABC是等边三角形，得到∠ABC=∠ACB=60°，推出△CDE是等边三角形，得到∠EDC=60°，推出四边形ABDF是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到AF∥BC；
（2）由△ABC是等边三角形，得到AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°，根据等边三角形的性质得到ED=EC=DC，∠DEC=∠AEF=60°，推出△AEF是等边三角形，得到AF=AE，∠EAF=60°，于是得到结论．

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵CD=CE，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠EDC=60°，
∴∠ABC=∠FDC，
∴AB∥DF，
∵∠EAF=∠ACB=60°，
∴AB∥AF，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴AF∥BC；
（2）△ACF与△ABE全等，
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°，
∵DE=DC，
∴△DEC是等边三角形，
∴ED=EC=DC，∠DEC=∠AEF=60°，
∵EF=AE，
∴△AEF是等边三角形，
∴AF=AE，∠EAF=60°，
在△ABE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，需要正确寻找全等三角形，属于中考常考题型．