Question

17．如图，直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，E，F为圆上的两点，且∠CDE=∠ADF，若⊙O的直径为5，CD=4，则弦EF的长为2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 首先连接OA，并反向延长交CD于点H，连接OC，由直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，可求得OH的长，然后由勾股定理求得AC的长，又由∠CDE=∠ADF，可证得EF=AC，继而求得答案．

解答 解：连接OA，并反向延长交CD于点H，连接OC，
∵直线AB与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AB，
∵弦CD∥AB，
∴AH⊥CD，
∴CH=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×4=2，
∵⊙O的半径为$\frac{5}{2}$，
∴OA=OC=$\frac{5}{2}$，
∴OH=$\sqrt{O{C}^{2}-C{H}^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
∴AH=OA+OH=$\frac{5}{2}$+$\frac{3}{2}$=4，
∴AC=$\sqrt{A{H}^{2}+C{H}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∵∠CDE=∠ADF，
∴$\widehat{CE}$=$\widehat{AF}$，
∴$\widehat{EF}$=$\widehat{AC}$，
∴EF=AC=2$\sqrt{5}$．
故答案为2$\sqrt{5}$．

点评 此题考查了切线的性质、圆周角定理、垂径定理以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．