Question

4．如图，锐角△ABC分别以A、B为直角顶点，向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF，再分别过点E、F作边AB所在直线的垂线，垂足为M，N．
求证：EM+FN=AB．

Answer 1

分析 过C作CG垂直于AB，由EA垂直于AC，利用平角的定义得到一对角互余，再由CG垂直于AG，得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等及AE=AC，利用AAS得到三角形ACG与三角形AEM全等，利用全等三角形的对应边相等得到EM=AG，同理得到BG=FN，由AB=AG+GB，等量代换即可得证．

解答 解：如图，过C作CG⊥AB，

∴∠CAG+∠ACG=90°，
∵△AEC为等腰直角三角形，
∴∠EAC=90°，AE=AC，
∴∠CAG+∠EAM=90°，
∴∠ACG=∠EAM，
∵在△ACG和△EAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGC=∠EMA}\\{∠ACG=∠EAM}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△ACG≌△EAM（AAS），
∴EM=AG，
同理GB=FN，
∴AB=AG+GB=EM+FN．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，轴对称-最短线路问题，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．