Question

19．如图1，直线AB∥CD，P是截线MN上的一点．
（1）若∠MNB=45°，∠MDP=20°，求∠MPD的度数；
（2）当点P在直线MN上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，请直接写出∠Q、∠DPB之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）作PE∥AB，则AB∥CD∥PE，由平行线的性质得出∠MPE=∠MNB=45°，∠1=∠MDP=20°，即可得出结果；
（2）作QE∥CD，PF∥CD，则QE∥AB，EF∥AB，由平行线的性质得出∠CDQ=∠DQE①，∠ABQ=∠BQE②，得出∠BQD=∠1+∠3，同理：∠BPD=∠CDP+∠ABP，再由角平分线的定义即可得出结果．

解答 解：（1）作PE∥AB，如图1所示：
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PE，
∴∠MPE=∠MNB=45°，∠1=∠MDP=20°，
∴∠MPD=45°-20°=25°；
（2）∠DPB=2∠BQD；理由如下：
作QE∥CD，PF∥CD，如图2所示：
则QE∥AB，EF∥AB，
∴∠CDQ=∠DQE①，∠ABQ=∠BQE②，
①+②得：∠BQD=∠CDQ+∠ABQ，
同理：∠BPD=∠CDP+∠ABP，
∵∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，
∴∠CDQ=∠∠1=$\frac{1}{2}$∠CDP，∠3=$\frac{1}{2}$∠ABP，
∴∠DPB=2∠BQD．

点评 本题考查了平行线的性质、角平分线的定义；熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键，注意辅助线的作法．