Question

6．如图，在直角坐标系xOy中，已知正三角形ABC的边长为2，点A从点O开始沿着x轴的正方向移动，点B在∠xOy的平分线上移动．则点C到原点的最大距离是（　　）

• A． 1+$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$
• C． 2+$\sqrt{3}$
• D． 1+2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 当OC垂直平分线段AB时，线段OC最长，设OC与AB的交点为F，在OF上取一点E，使得OE=EA，分别求出CF、EF、OE即可．

解答 解：如图，当OC垂直平分线段AB时，线段OC最长．
设OC与AB的交点为F，在OF上取一点E，使得OE=EA，
∵△ABC为等边三角形，边长为2，OC⊥AB
∴CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC=$\sqrt{3}$，AF=BF=1，
∵∠BOC=∠AOC=22.5°，
∴∠EOA=∠EAO=22.5°，
∴∠FEA=∠FAE=45°，
∴AF=EF=1，AE=$\sqrt{2}$，
∴OC=OE+EF+CF=1+$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$．
故选A．

点评 本题考查坐标与图形的性质、勾股定理、等边三角形的性质等知识，解题的关键是确定直线OC是AB的垂直平分线，学会添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．