Question

17．如图，以?ABCD的一边为直径⊙O，恰好与边CD相切于点D，E是⊙O上一点，点E与点D位于直径AB的两侧．
①求∠AED的度数；
②若⊙O的半径为5cm，AE=8cm，求tan∠ADE的值．

Answer 1

分析 ①先证明∠AOD=90°，再根据∠AED=$\frac{1}{2}$∠AOD即可解决问题．
②根据tan∠ADE=tan∠ABE，求出BE即可解决问题．

解答 解：①如图，连接OD、BE．
∵CD是⊙O切线，
∴CD⊥OD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴OD⊥AB，
∴∠AOD=90°，
∴∠AED=$\frac{1}{2}$∠AOD=45°．
②∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∵AB=10，AE=8，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∵∠ADE=∠ABE，
∴tan∠ADE=tan∠ABE=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查切线的性质、平行四边形的性质、勾股定理、同弧所对的圆周角与圆心角的关系等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，属于中考常考题型．