Question

2．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=$\frac{1}{3}$AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=3EQ；④若P是AD的中点，则矩形ABCD为正方形．其中正确的是（　　）

• A． ①④
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①③④

Answer 1

分析 求出BE=2AE，根据翻折的性质可得PE=BE，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠APE=30°，然后求出∠AEP=60°，再根据翻折的性质求出∠BEF=60°，根据直角三角形两锐角互余求出∠EFB=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得EF=2BE，判断出①正确；利用30°角的正切值求出PF=$\sqrt{3}$PE，判断出②错误；求出BE=2EQ，EF=2BE，然后求出FQ=3EQ，判断出③正确；求出∠PBF=∠PFB=60°，然后得到△PBF是等边三角形，进而得出2AP≠AB，故AD≠AB，即矩形ABCD不是正方形，判断出④错误．

解答 解：∵AE=$\frac{1}{3}$AB，
∴BE=2AE，
由翻折的性质得，PE=BE，
∴∠APE=30°，
∴∠AEP=90°-30°=60°，
∴∠BEF=$\frac{1}{2}$（180°-∠AEP）=$\frac{1}{2}$（180°-60°）=60°，
∴∠EFB=90°-60°=30°，
∴EF=2BE，故①正确；

∵BE=PE，
∴EF=2PE，
∵EF＞PF，
∴PF＜2PE，故②错误；

由翻折可知EF⊥PB，
∴∠EBQ=∠EFB=30°，
∴BE=2EQ，EF=2BE，
∴FQ=3EQ，故③正确；

由翻折的性质，∠EFB=∠EFP=30°，
则∠BFP=30°+30°=60°，
∵∠PBF=90°-∠EBQ=90°-30°=60°，
∴∠PBF=∠PFB=60°，
∴△PBF是等边三角形，
则$\sqrt{3}$AP=AB，
即2AP≠AB，故AD≠AB，
∴矩形ABCD不是正方形．
故④错误；
故选：B．

点评 本题考查了翻折变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等边三角形的判定等知识，熟记各性质并准确识图是解题的关键．