Question

3．在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边的中点，将△ADC沿着AC折叠，得到△AEC．
（1）如图1，求证：四边形ADCE是菱形；
（2）如图2，若BC=$\frac{3}{4}$AC，菱形ADCE的面积为24，求AB边的长．

Answer 1

分析 （1）由折叠性质可知AD=AE、CD=CE，若证四边形ADCE是菱形，需证AD=CD，在RT△ABC中，由斜边上中线等于斜边的一半即可得证；
（2）连接DE，根据BC=$\frac{3}{4}$AC可设BC=3a、AC=4a，则AB=5a，证四边形BDEC是平行四边形得DE=BC=3a，由S_菱形ADCE=2S_△ACD=$\frac{3a•4a}{2}$=24求得a的值即可得答案．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，D为中点，
∴CD=AD，
∵△ADC折叠得到△AEC，
∴AE=EC=CD=AD，
∴四边形ADCE是菱形；

（2）连接DE，

设BC=3a，AC=4a，则AB=5a，
∵四边形ADCE是菱形，
∴CE∥BD，
∵CE=CD=BD，
∴四边形BDEC是平行四边形，
∴DE=BC=3a，
∵四边形ADCE是菱形，
∴AC⊥DE，
∴S_菱形ADCE=2S_△ACD=$\frac{3a•4a}{2}$=24，
∴a=2，
∴AB=5a=10．

点评 本题主要考查平行四边形与菱形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形与菱形的判定与性质及菱形的面积公式是解题的关键．