题目内容
18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，现在有一足够大的直角三角板，它的直角顶点D是BC上一点，另两条直角边分别交AB、AC于点E、F．（1）如图1，若DE⊥AB，DF⊥AC，求证：四边形AEDF是矩形；
（2）在（1）条件下，若点D在∠BAC的 角平分线上，试判断此时四边形AEDF的形状，并说明理由；
（3）若点D在∠BAC的角平分线上，将直角三角板绕点D旋转一定的角度，使得直角三角板的两条边与两条直角边分别交于点E、F（如图2），试证明AE+AF=$\sqrt{2}$AD．
分析 （1）由垂直的定义得到∠AED=∠AFD=90°，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据角平分线的性质得到DE=DF，根据正方形的判定定理即可得到矩形AEDF是正方形；
（3）作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，证得四边形AMDN是正方形，由正方形的性质得到AM=DM=DN=AN，∠MDN=∠AMD=90°，由余角的性质得到∠NDF=∠EDM，根据全等三角形的性质得到EM=FN，根据勾股定理得到AD=$\sqrt{2}$AM，由于AM=$\frac{1}{2}$（AM+AN）=$\frac{1}{2}$（AE+AF），等量代换即可得到结论．
解答 
解：（1）∵DE⊥AB，BF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
∵∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形；
（2）四边形AEDF是正方形，
理由：∵点D在∠BAC的 角平分线上，DE⊥AB，BF⊥AC，
∴DE=DF，
∴矩形AEDF是正方形；
（3）作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
∴∠AMD=∠AND=∠BAC=90°，
∵点D在∠BAC的 角平分线上，
∴DM=DN，
∴四边形AMDN是正方形，
∴AM=DM=DN=AN，∠MDN=∠AMD=90°，
∴∠MDF+∠NDF=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠MDF+∠EDM=90°，
∴∠NDF=∠EDM，
在△EMD与△END中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EMD=∠DNF}\\{DM=DN}\\{∠EDM=∠NDF}\end{array}\right.$，
∴△EMD≌△END，
∴EM=FN，
∵∠AMD=90°，
∴AM2+DM2=AD2，
∴AD=$\sqrt{2}$AM，
∵AM=$\frac{1}{2}$（AM+AN）=$\frac{1}{2}$（AE+AF），
∴AD=$\sqrt{2}$×$\frac{1}{2}$（AE+AF），
∴AE+AF=$\sqrt{2}$AD．
点评 本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形角平分线的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
