Question

11．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，连接BD，∠PBQ=60°，将∠PBQ绕点B任意旋转，交边AD，CD分别于点E、F（不与菱形的顶点重合），设菱形ABCD的边长为a（a为常数）
（1）△ABD和△CBD都是等边三角形；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由；
（3）在运动过程中，四边形BEDF的面积是否变化，若不变，求出其面积的值（用a表示）；若变化，请说明理由．
（4）若a=3，设△DEF的周长为m，直接写出m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质得到AD=AB=BC=CD，∠C=∠A=60°由等边三角形的判定定理即可得到结论；
（2）由（1）知，△ABD和△CBD都是等边三角形，于是得到∠EDB=∠DBC=∠C=60°，BD=BC证得∠EBD=∠CBF，根据全等三角形的性质得到BE=BF，即可的结论；
（3）由△ABD是等边三角形，AB=a，得到AB边上的高=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，根据三角形的面积公式得到S_△ABD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，等量代换即可得到结论；
（4）根据全等三角形的性质得到DE=CF，于是得到DF+DE=DF+CF=3，根据等边三角形的性质得到BF=EF，得到△DEF的周长＜6，当BF⊥CD时，求得BF=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，得到△DEF的周长=3+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，即可得到结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=BC=CD，∠C=∠A=60°
∴△ABD和△CBD都是等边三角形；
故答案为：等边；

（2）△BEF是等边三角形，
理由：由（1）知，△ABD和△CBD都是等边三角形，
∴∠EDB=∠DBC=∠C=60°，BD=BC
∵∠EBF=60°，
∴∠EBD=∠CBF，
在△BDE与△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BDE=∠C}\\{BD=BC}\\{∠DBE=∠CBF}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△BCF，
∴BE=BF，
∴△BEF是等边三角形；

（3）不变，
理由：∵△ABD是等边三角形，AB=a，
∴AB边上的高=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴S_△ABD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，
∵△BDE≌△BCF，
∴S_{四边形BFDE}=S_△ABD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，
∴在运动过程中，四边形BEDF的面积不变化；

（4）∵△BDE≌△BCF，
∴DE=CF，
∴DF+DE=DF+CF=3，
∵△BEF是等边三角形，
∴BF=EF，
∵BF＜3，
∴△DEF的周长＜6，
当BF⊥CD时，BF=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴△DEF的周长=3+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴m的取值范围是3+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$≤m＜6．

点评 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．