Question

4．已知：如图（1），在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE=AF，∠AEC=∠AFC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图（2），若AD=AF，延长AE、DC交于点G，求证：AF²=AG•DF；
（3）在第（2）小题的条件下，连接BD，交AG于点H，若HE=4，EG=12，求AH的长．

Answer 1

分析 （1）通过AAS证得△AEB≌△AFD，则其对应边相等：AB=AD，所以“邻边相等的平行四边形是菱形”；
（2）欲证明AF²=AG•DF，需要通过相似三角形△GAD∽△AFD的对应边成比例得到AD=AF，则AF²=AG•DF；
（3）根据菱形的性质和平行线分线段成比例得到：AH：HG=BH：HD，BH：HD=EH：AH，故AH：HG=EH：AH．把相关线段的长度代入来求AH的长度即可．

解答 （1）证明：如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D．
∵∠AEC=∠AFC，∠AEC+∠AEB=∠AFC+∠AFD=180°，
∴∠AEB=∠AFD．
在△AEB和△AFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠D}\\{∠AEB=∠AFD}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△AFD（AAS）
∴AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；

（2）由（1）知，△AEB≌△AFD，则∠BAE=∠DAF．
如图2，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DG，
∴∠BAE=∠G，
∴∠G=∠DAF．
又∵∠ADF=∠GDA，
∴△GAD∽△AFD，
∴DA：DF=DG：DA，
∴DA²=DG•DF．
∵DG：DA=AG：FA，且AD=AF，
∴DG=AG．
又∵AD=AF，
∴AF²=AG•DF；

（3）如图2，在菱形ABCD中，∵AB∥DC，AD∥BC，
∴AH：HG=BH：HD，BH：HD=EH：AH，
∴AH：HG=EH：AH．
∵HE=4，EG=12，
∴AH：16=4：AH，
∴AH=8．

点评 本题考查了相似综合题．此题综合性比较强，其中涉及到了菱形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，解题时，需要弄清楚相似三角形的对应边与对应角，以防弄错．