Question

19．如图，正方形ABCD中，E为BC上的一点，DF=CF，DC+CE=AE，求证：AF平分∠DAE．

Answer 1

分析 延长AF交BC的延长线于点G，由正方形的性质及DF=CF就可以得出△ADF≌△GCF，就有AD=CG，∠DAF=∠G，进而得出CG=DC，得出AE=EG，就有∠EAF=∠G，得出∠EAF=∠DAF，从而得出结论．

解答 证明：延长AF交BC的延长线于点G．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=CD，∠D=∠BCD=90°．AD∥BC，
∴∠D=∠GCF．∠AFD=∠GFC．
在△ADF和△GCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠GCF}\\{DF=CF}\\{∠AFD=∠GFC}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△GCF（ASA），
∴AD=GC，∠DAF=∠G，
∴CD=GC．
∵DC+CE=AE，
∴CG+CE=AE，
∴EG=AE，
∴∠EAF=∠G
∴∠EAF=∠DAF，
∴AF平分∠DAE．

点评 本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，角平分线的判定的运用，等腰三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．