Question

15．在等边三角形△ABC中，BC=6，点D是边AC上动点（点D与点A，C不重合），连接BD，将BD绕点B逆时针旋转60°得到BE，连接BD，AE．
（1）求证：△BCD≌△BAE；
（2）求证：△AED的周长=AC+BD；
（3）直接写出△ADE周长的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得出AB=AC=BC=6，∠ABC=60°，根据旋转的性质得出BE=BD，∠DBE=∠ABC=60°，求出∠ABE=∠CBD，根据全等三角形的判定得出即可；
（2）求出△BDE是等边三角形，根据等边三角形的性质得出ED=BD，即可得出答案；
（3）根据垂线段最短，得出BD⊥AC时最短，求出此时BD的长即可．

解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=6，∠ABC=60°，
∵将BD绕点B逆时针旋转60°得到BE，
∴BE=BD，∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠ABE=∠CBD=60°-∠ABD，
在△BCD和△BAE中
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BE}\\{∠CBD=∠ABE}\\{BC=BA}\end{array}\right.$
∴△BCD≌△BAE（SAS）；

（2）证明：∵BE=BD，∠DBE=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴ED=BD，
∵△BCD≌△BAE，
∴CD=AE，
∴△AED的周长=AD+AE+DE=AD+CD+BD=AC+BD；

（3）解：△ADE周长的最小值是6+3$\sqrt{3}$，
理由是：∵△AED的周长=AC+BD=6+BD，
当BD最短时，△AED的周长最小，
根据垂线段最短，得出BD⊥AC时最短，
由勾股定理得出此时BD=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
即△ADE周长的最小值是6+3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质，等边三角形的性质和判定，最值问题的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．