Question

10．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于O，AD与BC交于P，BE与CD交于Q，连接PQ，以下六个结论：①AD=BE，②PQ∥AE，③AP=BQ，④PD=QE，⑤∠AOB=60°，⑥△PQC是等边三角形；成立的结论有（　　）

• A． 3个
• B． 4个
• C． 5个
• D． 6个

Answer 1

分析 根据等边三角形的三边都相等，三个角都是60°，可以证明△ACD与△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=BE，所以①正确，对应角相等可得∠CAD=∠CBE，然后证明△ACP与△BCQ全等，根据全等三角形对应角相等可得PC=PQ，从而得到△CPQ是等边三角形，所以⑥正确；再根据等腰三角形的性质可以找出相等的角，从而证明PQ∥AE，所以②正确；根据全等三角形对应边相等可以推出AP=BQ，所以③正确，同理④正确；根据三角形外角性质和全等即可推出⑤正确．

解答 解：∵等边△ABC和等边△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴180°-∠ECD=180°-∠ACB，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，故①小题正确；
∵△ACD≌△BCE（已证），
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠ACB=∠ECD=60°（已证），
∴∠BCQ=180°-60°×2=60°，
∴∠ACB=∠BCQ=60°，
在△ACP与△BCQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠CBE}\\{AC=BC}\\{∠ACB=∠BCQ=60°}\end{array}\right.$
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴AP=BQ，故③小题正确；
同理PD=QE，故④小题正确；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠DAC+∠ADC=∠DCE，
∵△DCE是等边三角形，
∴∠DCE=60°，
∴∠AOB=60°，故⑤小题正确；
∵△ACP≌△BCQ
∴PC=QC，
∴△PCQ是等边三角形，故⑥正确．
∴∠CPQ=60°，
∴∠ACB=∠CPQ，
∴PQ∥AE，故②小题正确；
即正确的个数是6个，
故选D．

点评 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及平行线的判定的应用，需要多次证明三角形全等，仔细分析图形是解题的关键．