Question

20．已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=10cm，BC=12cm，对角线AC=10cm，点P从点C出发沿着边CB向点B匀速运动，速度为每秒1个单位：同时，点Q从点B开始沿着边AB向点A匀速运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回，点Q的速度为每秒1个单位，过P点与AB平行的直线交线段AD于点E，交AC于点F，连接PQ，设运动时间为t（s）．
（1）当0＜t＜10时，设四边形AQPE的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；
（2）当0＜t＜10时，是否存在某一时刻t，使四边形AQPE的面积为平行四边形ABCD面积的一半？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）当0＜t＜10时，是否存在某一时刻t，使PQ⊥PE？若存在，求出t的值；不存在，请说明理由；
（4）当0＜t＜12时，是否存在某一时刻t，使线段PQ的垂直平分线恰好经过点B？存在，请直接给出相应的t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用相似三角形的判断和性质，表示出BQ=t，QH=$\frac{4}{5}$t，PF=$\frac{5}{6}$t，相似三角形的面积比等于相似比的平方，S_△CPF=$\frac{12}{25}$t²，从而y用三角形的面积的差表示出，即可；
（2）假设存在，建立方程，求出方程的解，全不符合题意，得到不存在；
（3）假设存在，建立方程，求出方程的解符合题意，即存在时间t，使PQ⊥PE；
（4）假设存在，由线段PQ的垂直平分线恰好经过点B，得到BQ=BP，建立方程，求出t，即可．

解答
解：如图1，作AG⊥BC于G，作QH⊥BC于H，
∴QH∥AG，
∴$\frac{BQ}{AB}$=$\frac{QH}{AG}$，
∵AG⊥BC，AB=AC=10，BC=12，
∴BG=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×12=6，AG=8，
∵BQ=t，
∴$\frac{t}{10}$=$\frac{QH}{8}$，
∴QH=$\frac{4}{5}$t，
∵PE∥AB，
∴$\frac{PF}{AB}$=$\frac{PC}{BC}$，
∴$\frac{PF}{10}$=$\frac{t}{12}$，
∴PF=$\frac{5}{6}$t，
∵BC=12，AG=8，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×BC×AG=48，
（1）∵PE∥AB，
∴$\frac{{S}_{△CPF}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{PC}{AB}$）²=$\frac{{PC}^{2}}{{AB}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}}{100}$，
∴S_△CPF=$\frac{{t}^{2}}{100}$×S_△ABC=$\frac{{t}^{2}}{100}$×48=$\frac{12}{25}$t²，
∵BP=BC-PC=12-t，QH=$\frac{4}{5}$t，
∴S△BPQ=$\frac{1}{2}$BP×QH=$\frac{1}{2}$×（12-t）×$\frac{4}{5}$t，
∴y=S_{四边形AQPE}=S_△ABC-S_△BPQ-S_△CPF=48-$\frac{1}{2}$×（12-t）×$\frac{4}{5}$t-$\frac{12}{25}$t²=-$\frac{2}{25}$t²-$\frac{24}{5}$t+48，（0＜t＜10）
（2）解：假设存在某一时刻t，使四边形AQPE的面积为平行四边形ABCD面积的一半，
由（1）由S_{四边形AQPE}=-$\frac{2}{25}$t²-$\frac{24}{5}$t+48，
∴=-$\frac{2}{25}$t²-$\frac{24}{5}$t+48=48，
∴t=0（舍）或t=-60（舍），
∴假设不成立，
∴不存在这样某一时刻t，使四边形AQPE的面积为平行四边形ABCD面积的一半；
（3）解：假设存在某一时刻t，使PQ⊥PE，
∵PE∥AB，
∴∠BQP=90°，
∴∠BQP=∠AGB，∠B=∠B，
∴△BQP∽△BGA，
∴$\frac{BQ}{BG}$=$\frac{BP}{AB}$，
∵BG=6，BQ=t，BP=12-t，AB=10，
∴$\frac{t}{6}$=$\frac{12-t}{10}$，
∴t=$\frac{9}{2}$，
∴存在t=$\frac{9}{2}$，使PQ⊥PE；
（4）假设存在某一时刻t，使线段PQ的垂直平分线恰好经过点B，
∴BQ=BP，
当0＜t＜10时，
∵BP=12-t，BQ=t，
∴12-t=t，
∴t=6，
∴存在t=6，使线段PQ的垂直平分线恰好经过点B，
当10≤t＜12时，
∵BQ=20-t，BP=12-t，
∴20-t=12-t，明显等式不成立，
∴不存在某一时刻t，使线段PQ的垂直平分线恰好经过点B，
即：存在t=6，使线段PQ的垂直平分线恰好经过点B．

点评 本题是四边形的综合题，主要考查了相似三角形的性质和判定，计算图形面积的方法，解本题的关键是建立y与t的函数关系式．