Question

5．如图，△ABC为等边三角形，点E在∠ABC的平分线上，点D在BC边上，连接AE、DE，且∠AED=120°．
（1）求证：AB+BD=$\sqrt{3}$BE；
（2）连接AD，若BE=$\frac{13\sqrt{3}}{3}$，AD=7，求线段BD的长．

Answer 1

分析 （1）过E作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N，证△AME≌△DNE，根据全等得出AM=CN，证△BEM≌△BEN，根据全等三角形的性质得出BM=BN，即可求出AB+BD=2BM，即可得出答案；
（2）求出AB+BD=13，设BD=x，则AB=13-x，过D作DF⊥AB于F，解直角三角形求出BF=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{x}{2}$，DF=$\sqrt{3}$BD=$\frac{\sqrt{3}x}{2}$，AF=$\frac{26-3x}{2}$，根据勾股定理得出方程7²=（$\frac{\sqrt{3}x}{2}$）²+（$\frac{26-3x}{2}$）²，求出方程的解即可．

解答 （1）证明：如图1，过E作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N，
则∠BME=∠BNE=∠AME=90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠MBE=∠NBE，EM=EN，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠MEN=360°-90°-90°-60°=120°，
∵∠AED=120°，
∴∠AED=∠MEN=120°，
∴∠AEM=∠DEN=120°-∠MED，
在△AME和△DNE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AME=∠DNE}\\{ME=NE}\\{∠AEM=∠DEN}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△DNE（ASA），
∴AM=DN，
在△BEM和△BEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BME=∠BNE}\\{∠MBE=∠NBE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△BEM≌△BEN（AAS），
∴BM=BN，
∴AB+BD
=BM+AM+BN-DN
=2BM，
∵∠ABC=60°，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=30°，
∴BM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BE，
即AB+BD=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$BE=$\sqrt{3}$BE；

（2）解：∵AB+BD=$\sqrt{3}$BE=$\sqrt{3}$×$\frac{13\sqrt{3}}{3}$=13，
∴设BD=x，则AB=13-x，
如图2，过D作DF⊥AB于F，
则∠DFB=90°，
∵∠ABC=60°，
∴∠FDB=30°，
∴BF=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{x}{2}$，DF=$\sqrt{3}$BD=$\frac{\sqrt{3}x}{2}$，
则AF=13-x-$\frac{x}{2}$=$\frac{26-3x}{2}$，
在Rt△AFD中，由勾股定理得：AD²=DF²+AF²，
7²=（$\frac{\sqrt{3}x}{2}$）²+（$\frac{26-3x}{2}$）²，
解得：x=5或8，
当x=8时，BD=8，AB=13-8=5＜7，此时不符合题意舍去，
即BD的长是5．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形的应用，能综合运用知识点进行计算和推理是解此题的关键，题目比较好，难度偏大．