Question

5．已知点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，且正方形ABCD的面积是△AEF的面积的$\frac{5}{2}$倍，EF=4，则AB的长是5．

Answer 1

分析 将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得△ADE'，根据旋转的性质，判定△AEF≌△AE'F（SAS），得出EF=E'F，设正方形ABCD的边长为a，构建方程即可解决问题．

解答 解：将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得△ADE'，则
AE=AE'，∠BAE=∠DAE'，∠ADE'=90°=∠ADF，
∴E'，D，F在同一直线上，
∵正方形ABCD中，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°=∠DAE'+∠DAF=∠E'AF，
∴∠EAF=∠E'AF，
又∵AF=AF，
∴△AEF≌△AE'F（SAS），
∴EF=E'F，设正方形ABCD的边长为a，
∴S_△AEF=S_△AFE′=$\frac{1}{2}$•4•a=2a，
则有a²=$\frac{5}{2}$•2a，
∵a≠0，
∴a=5，
故答案为5．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程等知识，解题的关键是学会用旋转法添加辅助线，属于中考参考题型．