Question

6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O在BC上，以点O为圆心，OC为半径的⊙O刚好与AB相切，交OB于点D．若BD=1，tan∠AOC=2，则⊙O的面积是（　　）

• A． π
• B． 2π
• C． $\frac{9}{4}π$
• D． $\frac{16}{9}π$

Answer 1

分析 作OE⊥AB于E，如图，设⊙O的半径为r，根据切线的性质得OE=r，再在△AOC中利用正切定义得到AC=2r，在Rt△OBE中利用勾股定理得到BE=$\sqrt{2r+1}$，然后证明RtBEO∽Rt△BCA，则利用相似比得到$\frac{r}{2r}$=$\frac{\sqrt{2r+1}}{2r+1}$，再解方程求出r后计算⊙O的面积．

解答 解：作OE⊥AB于E，如图，设⊙O的半径为r，
∵AB为切线，
∴OE=r，
在△AOC中，∠ACO=90°，
∵tan∠AOC=$\frac{AC}{OC}$=2，
∴AC=2r，
在Rt△OBE中，BE=$\sqrt{O{B}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{（r+1）^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{2r+1}$，
∵∠EBO=∠CBA，
∴RtBEO∽Rt△BCA，
∴$\frac{OE}{AC}$=$\frac{BE}{BC}$，即$\frac{r}{2r}$=$\frac{\sqrt{2r+1}}{2r+1}$，解得r=$\frac{3}{2}$，
∴⊙O的面积=π•（$\frac{3}{2}$）²=$\frac{9}{4}$π．
故选C．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，则作垂线得到半径．解决本题的关键是用半径表示AC、BE，然后利用相似比得到关于半径的方程．