Question

18．如图，⊙O为△ABC的外接圆，$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，D为⊙O上一点，∠ABC=∠ODC=67.5°．
（1）求证：OD∥BC；
（2）若CD=2，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）连接OB、OC，根据三角形的内角和得到∠DOC=180°-67.5°-67.5°=45°根据圆周角定理得到∠BOC=90°推出∠OCB=∠DOC由平行线的判定定理即可得到结论；
（2）延长DO交⊙O于E，连接CE，得到∠DCE=90°，连接AO并延长交BC于F，根据线段垂直平分线的性质得到AF⊥BC，由△ACF∽△CE，得到$\frac{CD}{CE}=\frac{CF}{AF}$，即可得到结论．

解答 解：（1）连接OB、OC，
∵OD=OC
∴∠OCD=∠ODC=67.5°
∴∠DOC=180°-67.5°-67.5°=45°
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$
∴∠ABC=∠ACB=67.5°
∴∠A=45°
∴∠BOC=90°
∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB=45°
∴∠OCB=∠DOC
∴OD∥BC

（2）延长DO交⊙O于E，连接CE，
则∠DCE=90°，
连接AO并延长交BC于F，
∵AB=AC，OB=OC，
∴AF⊥BC，
∴∠AFC=90°，
∵∠ABC=∠ODC=67.5°，
∴∠CAF=∠CED=22.5°，CE=AB=AC，
设AO=OC=r，则CF=OF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，
∴AF=（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）r，
∵△ACF∽△CE，
∴$\frac{CD}{CE}=\frac{CF}{AF}$，即$\frac{2}{CE}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}r}{（1+\frac{\sqrt{2}}{2}）r}$，
∴CE=2$\sqrt{2}$+2，
∴AC=CE=2$\sqrt{2}$+2．

点评 本题考查了三角形的外接圆与外心，相似三角形的判定和性质，平行线的判定，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．