Question

【题目】在△ABC中，AB＞BC,直线l垂直平分AC.

（1）如图1，作∠ABC的平分线交直线l于点D，连接AD，CD.

①补全图形；

②判断∠BAD和∠BCD的数量关系，并证明.

（2）如图2，直线l与△ABC的外角∠ABE的平分线交于点D，连接AD，CD.求证：∠BAD=∠BCD.

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②∠BAD+∠BCD=180°，证明见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）①根据题意画图即可补全图形；

②过点D作DE⊥AB于点E、DF⊥BC交BC的延长线于点F，如图4，根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得DE=DF，DA=DC，再根据HL可证Rt△ADE≌Rt△CDF，进而可得∠BAD=∠DCF，进一步即可得出∠BAD和∠BCD的数量关系；

（2）过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥CE于点G，如图5，根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得DG=DH，DA=DC，再根据HL可证Rt△ADH≌Rt△CDG，进一步即可得出结论.

解：（1）①补全图形如图3；

②∠BAD+∠BCD=180°.

证明：过点D作DE⊥AB于点E、DF⊥BC交BC的延长线于点F，如图4，

∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，

∵直线l垂直平分AC，∴DA=DC，

∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），∴∠BAD=∠DCF，

∵∠DCF+∠BCD=180°，

∴∠BAD+∠BCD=180°；

（3）证明：过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥CE于点G，如图5，

∵BD平分∠ABE，∴DH=DG，

∵直线l垂直平分AC，∴DA=DC，

∴Rt△ADH≌Rt△CDG（HL），

∴∠BAD=∠BCD，