Question

4．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）求证：△PCF是等腰三角形；
（2）若tan∠ABC=$\frac{4}{3}$，BE=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，求线段PC的长．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理得∠ACB=90°，则∠ACF=∠BCF=45°，再根据切线的性质得∠PCB+∠OCB=90°，加上∠OCB=∠OBC，∠OBC+∠BAC=90°，则∠PCB=∠BAC，然后根据三角形外角性质可证明∠PCF=∠PFC，
于是利用等腰三角形的判定定理可得△PCF是等腰三角形；
（2）连结AE，如图，先证明△ABE为等腰直角三角形得到AB=$\sqrt{2}$BE=7，再在Rt△ACB中，利用正切定义得tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$，则可设AC=4x，BC=3x，所以AB=5x=7，解得x=$\frac{7}{5}$，即AC=$\frac{28}{5}$，BC=$\frac{21}{5}$，接着证明Rt△DAC∽Rt△CAB，利用相似比可计算出AD=$\frac{112}{25}$，DC=$\frac{84}{25}$，然后利用OP∥AD得到△POC∽△PAD，则可利用相似比计算出PC的长．

解答 （1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵弦CE平分∠ACB，
∴∠ACF=∠BCF=45°，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°，即∠PCB+∠OCB=90°，
而OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
而∠OBC+∠BAC=90°，
∴∠PCB=∠BAC，
∵∠PCF=∠PCB+∠BCF=∠PCB+45°，∠PFC=∠FAC+∠ACF=∠BAC+45°，
∴∠PCF=∠PFC，
∴△PCF是等腰三角形；
（2）解：连结AE，如图，
∵∠ABE=∠ACE=45°，∠BAE=∠BCE=45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{2}$BE=$\sqrt{2}$×$\frac{7\sqrt{2}}{2}$=7，
在Rt△ACB中，tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$，
设AC=4x，BC=3x，则AB=5x，
∴5x=7，解得x=$\frac{7}{5}$，
∴AC=$\frac{28}{5}$，BC=$\frac{21}{5}$，
∵AD⊥CD，OC⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠ACO，
而∠ACO=∠OAC，
∴∠DAC=∠BAC，
∴Rt△DAC∽Rt△CAB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DC}{BC}$=$\frac{AC}{AB}$，即$\frac{AD}{\frac{28}{5}}$=$\frac{DC}{\frac{21}{5}}$=$\frac{\frac{28}{5}}{7}$，
∴AD=$\frac{112}{25}$，DC=$\frac{84}{25}$，
∵OP∥AD，
∴△POC∽△PAD，
∴$\frac{PC}{PD}$=$\frac{OC}{AD}$，即$\frac{PC}{PC+\frac{84}{25}}$=$\frac{\frac{7}{2}}{\frac{112}{25}}$，
∴PC=12．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查圆周角定理和相似三角形的判定与性质．