Question

8．如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OA的中点，⊙O的切线AF交DE的延长线于点F．
（1）求证：AB=BD；
（2）若DF=10，求半径OA的长．

Answer 1

分析 （1）先利用直径和弧的中点，得出∠BAD，再用切线的性质求出∠ADB，即可得到∠BAD=∠ADB，即可；
（2）先利用直角三角形设出OA，表示出BE，BD，DE，再由平行线的性质得出比例式$\frac{EF}{DE}=\frac{AE}{BE}$，表示出EF，即可．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直径，点C是弧AB的中点，
∴∠BAD=45°，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠ABD=90°，
∴∠ADB=90°-∠BAD=45°，
∴∠BAD=∠ADB，
∴AB=BD，
（2）设OA=r，则BE=$\frac{3}{2}$r，BD=2r，
∵∠ABD=90°，
∴DE=$\sqrt{B{E}^{2}+B{D}^{2}}$=$\frac{5}{2}$r，
∵BD是⊙O的切线，AF是⊙O的切线，
∴AF⊥AB，BD⊥AB，
∴AF∥BD，
∴$\frac{EF}{DE}=\frac{AE}{BE}$，
∴EF=$\frac{5}{6}$r，
∵DE+EF=DF，
∴$\frac{5}{2}$r+$\frac{5}{6}$r=10，
∴r=3，
∴OA=3

点评 此题是切线的性质，主要考查了圆的性质，弧的中点，勾股定理，平行线分线段成比例定理，解本题的关键得出$\frac{EF}{DE}=\frac{AE}{BE}$．