Question

16．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在x轴上，A，C两点的坐标分别为A（0，m），C（n，0），B（-5，0），且（n-3）²+$\sqrt{3m-12}$=0，点P从B出发，以每秒1个单位的速度沿射线BO匀速运动，设点P运动时间为t．
（1）求A、C两点的坐标；
（2）连接PA，当△POA的面积等于△ABC的面积的一半时，求t的值；
（3）当P在线段BO上运动时，在y轴上是否存在点Q，使△POQ与△AOC全等？若存在，请求出t的值并直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由非负性先求出m，n即可求出点A，C坐标；
（2）根据点A，B，C的坐标求出△ABC的面积，再分点P在线段OB和射线OC上两种情况讨论计算；
（3）由∠POQ=∠AOC=90°，所以分两种情况讨论计算即可．

解答 t解：（1）∵（n-3）²+$\sqrt{3m-12}$=0
∴n-3=0，3m-12=0，
∴n=3，m=4，
∴A的坐标是（0，4），C的坐标是（3，0）
（2）∵B（-5，0），A（0，4），C（3，0）；
∴OB=5，OC=3，OA=4
S_△ABC=$\frac{1}{2}$OA×BC=$\frac{1}{2}$×4×8=16
①P在线段OB上，如图1，

∵OP=5-t，OA=4
∴S_△POA=$\frac{1}{2}$OP×AP=$\frac{1}{2}$（5-t）×4=16
∴t=1，
②当P在射线OC上如图2，

∵OP=t-5，OA=4，
∴S_△POA=$\frac{1}{2}$OP×AP=$\frac{1}{2}$（5-t）×4=16
∴t=9
∴当t=1或t=9时，△POA的面积等于△ABCD的面积的一半；
（3）当P在线段BO上运动时，在y轴上存在点Q，使△POQ与△AOC全等，
①当BP=1，OQ=3时，△POQ和△AOC全等，
此时t=1，Q的坐标是（0，3）或（0，-3）
②当BP=2，OQ=4时，△POQ和△AOC全等，
此时t=2，Q的坐标是（0，4）或（0，-4）；
综上所述，t=1或2时，Q的坐标是（0，3）或（0，4）或（0，3）或（0，4）．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了非负性，三角形的面积公式，全等三角形的性质，解本题的关键分情况讨论计算，也是解本题的难点．