Question

12．（1）已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P，求证：AP=BQ．
（2）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D且∠A=∠D．求∠D的度数．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质知AD=BA、∠BAD=90°，由AQ⊥BE、DP⊥AQ知∠BAQ=∠ADP、∠AQB=∠DPA=90°，即可证△AQB≌△DPA得AP=BQ；
（2）由切线的性质知∠OCD=90°即∠COB+∠D=90°，由圆周角定理知∠COB=2∠A，结合∠A=∠D可得答案．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90°，
∵DP⊥AQ，
∴∠ADP+∠DAP=90°，
∴∠BAQ=∠ADP，
∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P，
∴∠AQB=∠DPA=90°，
在△AQB和△DPA中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BAQ=∠ADP}\\{∠AQB=∠DPA}\\{AB=DA}\end{array}\right.$，
∴△AQB≌△DPA（AAS），
∴AP=BQ；

（2）如图，连接OC，

∵CD是⊙O 的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∴∠COB+∠D=90°，
由圆周角定理得∠COB=2∠A，
∵∠A=∠D，
∴2∠A+∠A=90°，
∴∠A=30°，
∴∠D=30°．

点评 本题主要考查正方形的性质、切线的性质、圆周角定理及全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质、切线的性质是解题的关键．