Question

3．己知：如图1．正方形ABCD，过点A作∠EAF=90°，两边分别交直线BC于点E，交线段CD于点F，G为AE中点，连接BG
（1）求证：∠AFD+∠CBG=180°；
（2）如图2，过点G作BG的垂线交对角线AC于点H，求证：GH=GB；
（3）如图3，连接HF，若CH=3AH，AD=2$\sqrt{10}$，求线段HF的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，由△ABE≌△ADF，推出∠AFD=∠E，由AG=GE，推出GB=GE=GA，推出∠E=∠GBE=∠AFD，由∠GBE+∠GBC=180°，推出∠AFD+∠GBC=180°即可；
（2）如图2中，连接BD交AC于O，连接OG、BH、取BH的中点K，连接GK、OK．只要证明O、H、G、B四点共圆，由AG=GE，AO=OC．推出OG∥CE，推出∠GOB=∠OBC=45°，即可解决问题；
（3）如图3中，如图3中，设OG交AB于T，GH交AB于P．，作HM⊥DF于M．只要证明∠EAB=∠GBP=∠PGT=∠HBO，推出tan∠EAB=tan∠HBO=$\frac{HO}{OB}$，由CH=3AH，OA=OC=OB，推出tan∠EAB=tan∠HBO=$\frac{HO}{OB}$=$\frac{1}{2}$，BE=DF=$\sqrt{10}$，在RtHMF中，利用勾股定理即可解决问题；

解答 （1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠AEF=90°，
∴∠EAB=∠DAF，
∵∠ABE=∠ADF=90°，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠AFD=∠E，
∵AG=GE，
∴GB=GE=GA，
∴∠E=∠GBE=∠AFD，
∵∠GBE+∠GBC=180°，
∴∠AFD+∠GBC=180°．

（2）证明：如图2中，连接BD交AC于O，连接OG、BH、取BH的中点K，连接GK、OK．

∵∠BGH=∠BOH=90°，BK=KH，
∴GK=KH=OK=KB，
∴O、H、G、B四点共圆，
∵AG=GE，AO=OC．
∴OG∥CE，
∴∠GOB=∠OBC=45°，
∴∠GOH=∠GBH=45°，∵∠BGH=90°，
∴∠GBH=∠GHB=45°，
∴GH=GB．

（3）解：如图3中，如图3中，设OG交AB于T，GH交AB于P．，作HM⊥DF于M．

∵OG∥EC，
AB⊥CE，
∴OG⊥AB，
易证∠EAB=∠GBP=∠PGT=∠HBO，
∴tan∠EAB=tan∠HBO=$\frac{HO}{OB}$，
∵CH=3AH，OA=OC=OB，
∴tan∠EAB=tan∠HBO=$\frac{HO}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∵AB=AD=2$\sqrt{10}$，
∴BE=DF=$\sqrt{10}$，
在Rt△HMF中，易证FM=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，HM=$\frac{3}{2}$$\sqrt{10}$，
∴HF=$\sqrt{H{M}^{2}+F{M}^{2}}$=5．

点评 本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、四点共圆、三角形的中位线定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．