Question

如图，DB为半圆的直径，A为BD延长线上一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC于点C，交半圆于点F．
（1）如图1，若AC=4，BC=3，求⊙O的半径；
（2）如图2，连结OE、OF、EF．若EF∥AB，试判断△EOF的形状，并请说明理由；
（3）设AD=x，CF=y，若BD=2，求y关于x的函数关系式．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）连接OE，设圆的半径为x，首先利用勾股定理可求出AB的长，再证明△AOE∽△ABC，由相似三角形的性质即可求出圆的半径；
（2）△EOF的形状是等边三角形，利用已知条件和（1）中的OE∥BC，易证四边形OEFB是平行四边形，因为OE=OB，所以四边形OEFB是菱形，再由圆的半径处处相等即可证明问题的结论；
（3）连接DF、OE，过点D作DG⊥AC与点G，先证明四边形CGDF是矩形，得出DG=CF=y；再证明△AOE∽△ADG，根据相似三角形的性质即可求出答案．

解答：解：（1）连接OE，设圆的半径为x，
∵BC⊥AC于点C，AC=4，BC=3，
∴AB=

32+42

=5，
∴AO=AB-OB=5-x，
∵AC切半圆于点E，
∴OE⊥AC，
∴OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴

OE

BC

=

AO

AB

，
∴

x

3

=

5-x

5

，
解得：x=

15

8

，
∴⊙O的半径为

15

8

；
（2）△EOF的形状是等边三角形，
理由如下：
∵OE∥BC，EF∥AB，
∴四边形OEFB是平行四边形，
∵OE=OB，
∴四边形OEFB是菱形，
∴EF=OE，
∵OE=OF，
∴OE=EF=OF，
∴△EOF的形状是等边三角形；
（3）连接DF、OE，过点D作DG⊥AC于点G．
∵∠C=∠CGD=∠CFD=90°，
∴四边形CGDF是矩形，
∴DG=CF=y；
∵OE∥DG，
∴△AOE∽△ADG，
∴

OE

AO

=

DG

AD

，
即

1

x+1

=

y

x

，
化简可得y=

x

x+1

．

点评：此题考查的知识点是切线的性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质以及勾股定理的运用，其中还渗透了函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．