Question

6．形如x+$\frac{1}{x}$=a$+\frac{1}{a}$的方程的解为：x₁=a，x₂=$\frac{1}{a}$．解方程：$\frac{{x}^{2}+x+1}{{x}^{2}+1}$$+\frac{2{x}^{2}+x+2}{{x}^{2}+x+1}$=$\frac{19}{6}$．

Answer 1

分析 把原方程变形为$\frac{{x}^{2}+x+1}{{x}^{2}+1}$+$\frac{{x}^{2}+1}{{x}^{2}+x+1}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{2}$，设y=$\frac{{x}^{2}+x+1}{{x}^{2}+1}$于是得到原方程变为y+$\frac{1}{y}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{2}$，求得y₁=$\frac{2}{3}$，y₂=$\frac{3}{2}$，当$\frac{{x}^{2}+x+1}{{x}^{2}+1}$=$\frac{2}{3}$时，当$\frac{{x}^{2}+x+1}{{x}^{2}+1}$=$\frac{3}{2}$时，即可求得结果．

解答 解：原方程变形为：$\frac{{x}^{2}+x+1}{{x}^{2}+1}$+$\frac{{x}^{2}+1}{{x}^{2}+x+1}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{2}$，
设y=$\frac{{x}^{2}+x+1}{{x}^{2}+1}$，则原方程变为y+$\frac{1}{y}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{2}$，解得：y₁=$\frac{2}{3}$，y₂=$\frac{3}{2}$，
当$\frac{{x}^{2}+x+1}{{x}^{2}+1}$=$\frac{2}{3}$时，x=$\frac{-3±\sqrt{5}}{2}$，
当$\frac{{x}^{2}+x+1}{{x}^{2}+1}$=$\frac{3}{2}$时，x=1，
经检验x=$\frac{-3±\sqrt{5}}{2}$和x=1都是原方程的根，
故原方程的根是x=$\frac{-3±\sqrt{5}}{2}$和x=1．

点评 此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．