Question

6．喜欢钻研的小亮对75°角的三角函数发生了兴趣，他想：75度虽然不是特殊角，但和特殊角有着密切的关系，能否通过特殊角的三角函数值求75°的正弦值呢？经研究，他发现：sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°，于是他大胆猜想：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ（α和β为锐角）．将图1（a）等积变形为图1（b）可用于勾股定理的证明，现将这两幅图分别“压扁”成图2（a）和图2（b）．如图，锐角为α的直角三角形斜边为m，锐角为β的直角三角形斜边为n，请你借助图2（a）和图2（b）证明上述结论能成立．

Answer 1

分析 根据平行四边形的面积公式求出图2（a）中?ABCD的面积，根据矩形的面积公式求出图2（b）中矩形ABCD与CEFG的面积，由图2（a）与图2（b）中空白部分的面积相等即可证明sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．

解答 解：如图2（a），原来内部的正方形变成了一个平行四边形，m，n为相邻两边，其夹角为α+β，
作?ABCD的高AE，则AE=AB•sinB=msin（180°-α-β）=msin（α+β），
则S_?ABCD=BC•AE=n•msin（α+β）=mnsin（α+β）．
如图2（b），原来的两个小正方形变成了两个矩形ABCD与CEFG，
则S_矩形ABCD=BC•AB=nsinβ•mcosα=mncosαsinβ，
S_矩形CEFG=CE•CG=msinα•ncosβ=mnsinαcosβ，
∵图2（a）与图2（b）中空白部分的面积相等，
∴mnsin（α+β）=mncosαsinβ+mnsinαcosβ，
化简得sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．

点评 本题考查了解直角三角形，图形面积的计算，理解两幅图分别“压扁”成图2（a）和图2（b）后的形状得出它们空白部分的面积相等是解题的关键．