Question

如图，△ABC的两条高AD、CE相交于点H，D、E分别是垂足，过点C作BC的垂线交△ABC的外接圆于点F，求证：AH=FC．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质,圆周角定理

专题：证明题

分析：根据圆周角定理以及三角形的内角和定理可以证得∠NHC=∠N，然后根据三线合一定理即可判断DH=DN，根据AD⊥BC，以及直径所对的圆周角是直角，即可证得∠BCF=90°，则AH∥CF，然后根据等弧所对的圆周角相等，平行线的判定定理证明AF∥CH，即可证得四边形AHCF．

解答：证明：延长AD交圆于点N，连接BF、AF、CN．
∵AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，
∴∠AEH=∠NDC=90°，
又∵∠EAH=∠DCN
∴∠AHE=∠N
∵∠NHC=∠AHE
∴∠NHC=∠N，
∴NC=CH
又∵BC⊥NH
∴DN=DH，
∴CH=CN，
∴∠NHC=∠N．
∵∠BCF=90°，
∴BF是圆的直径，
∴∠BCF=90°，
又∵AD⊥BC
∴AD∥CF，
∴

AF

=

CN

，
∴∠FAD=∠N
又∵∴∠NHC=∠N，
∴∠FAD=∠NHC
∴AF∥CH，
又∵AH∥CF，
∴四边形AHCF为平行四边形．

点评：本题考查了圆周角定理，以及平行四边形的判定方法，正确证得四边形AHCF为平行四边形是关键．