Question

16．已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，将∠EDF绕点D旋转，它的两边分别交AC，CB（或它们的延长线）于E，F．

（1）当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于E时，如图①所示，试证明S_△DEF+S_△CEF=$\frac{1}{2}$S_△ABC．
（2）当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时，如图②图③所示，上述结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，试说明S_△DEF，S_△CEF与S_△ABC之间的数量关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时，四边形CEDF是正方形，边长是AC的一半，即可得出结论；
（2）成立；先证明△CDE≌△BDF，即可得出结论；
（3）不成立；同（2）得：△DEC≌△DBF，得出S_△DEF=S_{五边形DBFEC}=S_△CFE+S_△DBC=S_△CFE+$\frac{1}{2}$S_△ABC．

解答 解：（1）如图①中，

当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时，四边形CEDF是正方形；设△ABC的边长AC=BC=a，则正方形CEDF的边长为 $\frac{1}{2}$a
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$a²，正方形CEDF的面积=（ $\frac{1}{2}$a）²=$\frac{1}{4}$a²
即S_△DEF+S_△CEF=$\frac{1}{2}$S_△ABC；

（2）上述结论成立；理由如下：连接CD；如图②所示：

∵AC=BC，∠ACB=90°，D为AB中点，
∴∠B=45°，∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，CD⊥AB，CD=$\frac{1}{2}$AB=BD，
∴∠DCE=∠B，∠CDB=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠1=∠2，
在△CDE和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{CD=BD}\\{∠DCE=∠B}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴S_△DEF+S_△CEF=S_△ADE+S_△BDF=$\frac{1}{2}$S_△ABC；

（3）不成立；S_△DEF-S_△CEF=$\frac{1}{2}$S_△ABC；理由如下：连接CD，如图③所示：

同（2）得：△DEC≌△DBF，∠DCE=∠DBF=135°
∴S_△DEF=S_{五边形DBFEC}，
=S_△CFE+S_△DBC，
=S_△CFE+$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴S_△DEF-S_△CFE=$\frac{1}{2}$S_△ABC．
∴S_△DEF、S_△CEF、S_△ABC的关系是：S_△DEF-S_△CEF=$\frac{1}{2}$S_△ABC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、图形面积的求法，证明三角形全等是解决问题的关键，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．