Question

6．如图，点A₁的坐标为（1，0），A₂在y轴的正半轴上，且∠A₁A₂O=30°，过点A₂作A₂A₃⊥A₁A₂，垂足为A₂，交x轴于点A₃，过点A₃作A₃A₄⊥A₂A₃，垂足为A₃，交y轴于点A₄；过点A₄作A₄A₅⊥A₃A₄，垂足为A₄，交x轴于点A₅；过点A₅作A₅A₆⊥A₄A₅，垂足为A₅，交y轴于点A₆；…按此规律进行下去，则点A₂₀₁₇的横坐标为3¹⁰⁰⁸．

Answer 1

分析 由∠A₁A₂O=30°结合点A₁的坐标即可得出点A₂的坐标，由A₂A₃⊥A₁A₂结合点A₂的坐标即可得出点A₃的坐标，同理找出点A₄、A₅、A₆、…的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A_4n+1（$（\sqrt{3}）^{4n}$，0），A_4n+2（0，$（\sqrt{3}）^{4n+1}$），A_4n+3（-$（\sqrt{3}）^{4n+2}$，0），A_4n+4（0，-$（\sqrt{3}）^{4n+3}$）（n为自然数）”，依此规律结合2017=504×4+1即可得出点A₂₀₁₇的坐标，此题得解．

解答 解：∵∠A₁A₂O=30°，点A₁的坐标为（1，0），
∴点A₂的坐标为（0，$\sqrt{3}$）．
∵A₂A₃⊥A₁A₂，
∴点A₃的坐标为（-3，0）．
同理可得：A₄（0，-3$\sqrt{3}$），A₅（9，0），A₆（0，9$\sqrt{3}$），…，
∴A_4n+1（$（\sqrt{3}）^{4n}$，0），A_4n+2（0，$（\sqrt{3}）^{4n+1}$），A_4n+3（-$（\sqrt{3}）^{4n+2}$，0），A_4n+4（0，-$（\sqrt{3}）^{4n+3}$）（n为自然数）．
∵2017=504×4+1，
∴A₂₀₁₇（$（\sqrt{3}）^{2016}$，0），即（3¹⁰⁰⁸，0）．
故答案为：3¹⁰⁰⁸．

点评 本题考查了规律型中点的坐标以及含30度角的直角三角形，根据点的变化找出变化规律“A_4n+1（$（\sqrt{3}）^{4n}$，0），A_4n+2（0，$（\sqrt{3}）^{4n+1}$），A_4n+3（-$（\sqrt{3}）^{4n+2}$，0），A_4n+4（0，-$（\sqrt{3}）^{4n+3}$）（n为自然数）”是解题的关键．