Question

20．如图，在一条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5km的码头MN和灯塔C，灯塔C距码头的东端N有20km．一轮船以36km/h的速度航行，上午10：00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C相距12km．
（1）若轮船照此速度与航向航行，何时到达海岸线？
（2）若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由．（参考数据：$\sqrt{2}$≈1.4，$\sqrt{3}$≈1.7）

Answer 1

分析 （1）延长AB交海岸线l于点D，过点B作BE⊥海岸线l于点E，过点A作AF⊥l于F，首先证明△ABC是直角三角形，再证明∠BAC=30°，再求出BD的长即可角问题．
（2）求出CD的长度，和CN、CM比较即可解决问题．

解答 解：（1）延长AB交海岸线l于点D，过点B作BE⊥海岸线l于点E，过点A作AF⊥l于F，如图所示．
∵∠BEC=∠AFC=90°，∠EBC=60°，∠CAF=30°，
∴∠ECB=30°，∠ACF=60°，
∴∠BCA=90°，
∵BC=12，AB=36×$\frac{40}{60}$=24，
∴AB=2BC，
∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，
∵∠ABC=∠BDC+∠BCD=60°，
∴∠BDC=∠BCD=30°，
∴BD=BC=12，
∴时间t=$\frac{12}{36}$=$\frac{1}{3}$小时=20分钟，
∴轮船照此速度与航向航向，上午11：00到达海岸线．
（2）∵BD=BC，BE⊥CD，
∴DE=EC，
在RT△BEC中，∵BC=12海里，∠BCE=30°，
∴BE=6海里，EC=6$\sqrt{3}$≈10.2海里，
∴CD=20.4海里，
∵20海里＜20.4海里＜21.5海里，
∴轮船不改变航向，轮船可以停靠在码头．

点评 本题考查方向角、解直角三角形等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，由数量关系推出∠BAC=30°，属于中考常考题型．