Question

12．已知，如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=$\frac{n}{x}$（n为常数且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=6．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求两函数图象的另一个交点坐标；
（3）直接写出不等式；kx+b≤$\frac{n}{x}$的解集．

Answer 1

分析 （1）先求出A、B、C坐标，再利用待定系数法确定函数解析式．
（2）两个函数的解析式作为方程组，解方程组即可解决问题．
（3）根据图象一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即可解决问题，注意等号．

解答 解：（1）∵OB=2OA=3OD=6，
∴OB=6，OA=3，OD=2，
∵CD⊥OA，
∴DC∥OB，
∴$\frac{OB}{CD}$=$\frac{AO}{AD}$，
∴$\frac{6}{CD}$=$\frac{3}{5}$，
∴CD=10，
∴点C坐标（-2，10），B（0，6），A（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴一次函数为y=-2x+6．
∵反比例函数y=$\frac{n}{x}$经过点C（-2，10），
∴n=-20，
∴反比例函数解析式为y=-$\frac{20}{x}$．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+6}\\{y=-\frac{20}{x}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=10}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=-4}\end{array}\right.$，
故另一个交点坐标为（5，-4）．
（3）由图象可知kx+b≤$\frac{n}{x}$的解集：-2≤x＜0或x≥5．

点评 本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是学会利用待定系数法确定函数解析式，知道两个函数图象的交点坐标可以利用解方程组解决，学会利用图象确定自变量取值范围，属于中考常考题型．