Question

19．如图，在菱形ABCD中，tan∠ABC=$\frac{4}{3}$，P为AB上一点，以PB为边向外作菱形PMNB，连结DM，取DM中点E，连结AE，PE，则$\frac{AE}{PE}$的值为（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 如图，延长AE交MP的延长线于F，作AH⊥PF于H．证明△AED≌△FEM，可得AE=EF．AD=MF=AB，由PM=PB，推出PA=PF，推出PE⊥AF，∠APE=∠FPE，由∠APF=∠ABC，可得tan∠APE=tan∠ABC=$\frac{4}{3}$=$\frac{AH}{PH}$，设AH=4k，PH=3k，解直角三角形求出AE、PE即可解决问题．

解答 解：如图，延长AE交MP的延长线于F，作AH⊥PF于H．

∵AD∥CN∥PM，
∴∠ADE=∠EMF，
∵ED=EM，∠AED=∠MEF，
∴△AED≌△FEM，
∴AE=EF．AD=MF=AB，
∵PM=PB，
∴PA=PF，
∴PE⊥AF，∠APE=∠FPE，
∵∠APF=∠ABC，
∴tan∠APE=tan∠ABC=$\frac{4}{3}$=$\frac{AH}{PH}$，设AH=4k，PH=3k，则PA=PF=5k，FH=2k，AF=$\sqrt{A{H}^{2}+H{F}^{2}}$=2$\sqrt{5}$k，
∵$\frac{1}{2}$•PF•AH=$\frac{1}{2}$•AF•PE，
∴PE=2$\sqrt{5}$k，AE=$\sqrt{5}$k
∴AE：PE=$\sqrt{5}$k：2$\sqrt{5}$=1：2，
故选C．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、平行线的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．